首先，设定一个天体互绕系统：

• 天体质量分别为 $m_1$ 和 $m_2$。天体忽略体积，抽象为质点。
• $m_1$ 与质心距离为 $d_1$， $m_2$ 与质心间距为 $d_2$。两者之间间距为 $a = d_1 + d_2$。容易计算：

$$ d_1 = \frac{m_2 a}{m_1 + m_2}, d_2 = \frac{m_1 a}{m_1 + m_2} $$

• 检验质点，质量为 $m$ 且 $m << m_1, m_2$。为了方便计算，直接令 $m=1$。
• 互绕角速度 $\omega$。容易计算：

$$ \omega = \sqrt{\frac{G(m_1 + m_2)}{a^3}} $$

然后，求解拉格朗日点的位置。

我们以这个旋转参考系为参照物。那么检验质点的势包括三部分：

1. $m_1$ 引起的重力势。
2. $m_2$ 引起的重力势。
3. 旋转产生的惯性离心势。

三者可以线性叠加。那么当 $m$ 位于 $(x,y)$ 的时候，其总势能：

$$ E(x,y) = -\dfrac{G m_1}{\sqrt{(x+d_1)^2+y^2}}-\dfrac{Gm_2}{\sqrt{(x-d_2)^2+y^2}}-\dfrac{G(m_1+m_2)}{2a^3}(x^2+y^2) $$

平衡条件为势能在各个方向的一阶偏导数为 0，即：

$$ \begin{cases} \dfrac{\partial E}{\partial x}=\dfrac{Gm_1\left(x+\dfrac{m_2 a}{m_1+m_2}\right)}{\left(\left(x+\dfrac{m_2 a}{m_1+m_2}\right)^2+y^2\right)^{3/2}}+\dfrac{Gm_2\left(x-\dfrac{m_1 a}{m_1 + m_2}\right)}{\left(\left(x-\dfrac{m_1 a}{m_1+m_2}\right)^2+y^2\right)^{3/2}}-\dfrac{G(m_1+m_2)}{a^3}x = 0 \newline \dfrac{\partial E}{\partial y}=\left[\dfrac{Gm_1}{\left(\left(x+\dfrac{m_2 a}{m_1+m_2}\right)^2+y^2\right)^{3/2}}+\dfrac{Gm_2}{\left(\left(x-\dfrac{m_1 a}{m_1+m_2}\right)^2+y^2\right)^{3/2}}-\dfrac{G(m_1+m_2)}{a^3}\right]y=0 \end{cases} $$

根据第二条，满足 $y$ 方向为 0 有两种可能：

1. y=0，即质点与 $m_1$、 $m_2$ 共线。
2. $\left[\dfrac{Gm_1}{\left(\left(x+\dfrac{m_2 a}{m_1+m_2}\right)^2+y^2\right)^{3/2}}+\dfrac{Gm_2}{\left(\left(x-\dfrac{m_1 a}{m_1+m_2}\right)^2+y^2\right)^{3/2}}-\dfrac{G(m_1+m_2)}{a^3}\right]=0$